当前位置： 最长公共子序列java-java序列话部分字段
[问题] 找出双字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定的字符序列中随机（不一定连续）去掉几个字符（也可能没有）形成的字符序列。 设给定的字符序列 X="x0,x1,...,xm-1"，序列 Y="y0,y1,...,yk-1" 是 X 的子序列，存在严格递增的下标X 的序列，对于所有 j=0, 1, ..., k-1最长公共子序列java，令 xij=yj。 例如，X="ABCBDAB", Y="BCDB" 是 X 的子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解为子问题，设A = "a0, a1, ..., am-1", B = "b0, b1, ..., bm-1", Z = "z0 , z1, ... , zk-1" 是它们的最长公共子序列。 不难证明以下性质：
(1) 若am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，“z0,z1,...,zk-2”为“a0,a1,...,am -2”和“b0, b1, ..., bn-2”的最长公共子序列；
(2) 如果am-1!=bn-1, 那么如果zk-1!=am-1, 意味着“z0, z1, ..., zk-1”是“a0, a1, ..., am- 2”和“b0, b1, ..., bn-1 的最长公共子序列”；
(3) 如果am-1!=bn-1, 那么如果zk-1!=bn-1, 意味着“z0, z1, ..., zk-1”是“a0, a1, ..., am- 1”和“b0, b1, ..., bn-2 的最长公共子序列”。
这样最长公共子序列java，在寻找A和B的公共子序列时，如果am-1=bn-1，则进一步求解一个子问题，找到“a0，a1，...，am-2”和“b0， b1, ..., a longest common subsequence of bm-2”；如果am-1!=bn-1，则需要求解两个子问题，找出“a0, a1, ..., am-2”和“b0, b1, ..., bn-1 的最长公共子序列”，求“a0, a1, ..., am-1” 和 “b0, b1, ..., bn-2” 的最长公共子序列，然后取两个中较长的一个就是A和B的最长公共子序列。
解决：
引入一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]和Y[j]的LCS长度，b[i][j]记录c[ i][j]是得到哪个子问题的值，来决定搜索的方向。
我们自下而上进行递归计算，然后在计算c[i,j]、c[i-1][j-1]、c[i-1][j]和c[i][j-1]之前已被计算。 这时候我们可以根据X[i] = Y[j]或者X[i] != Y[j]来计算c[i][j]。
问题的递归公式写为：
回溯输出最长公共子序列的过程：
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左移动一步（或同时向上和向左移动），所以最多（m + n）次调用会遇到i = 0或j = 0的情况，并开始返回此时。 返回时，方向与递归调用的方向相反，步数相同，所以算法的时间复杂度为Θ(m + n)。
伪代码说：
for x = 0 to n do
for y = 0 to m do
if (x == 0 || y == 0) then
LCS(x, y) = 0
else if (Ax == By) then
LCS(x, y) = LCS(x - 1,y - 1) + 1
else
LCS(x, y) = ) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))
endif
endfor
endfor
整个代码（能粘贴运行的那种）：
package dp;
import java.util.Random;
//使用动态规划找出最长公共子序列
public class LCS {
public static void main(String[] args) {
//随机生成指定长度的字符串
int size = 20;
String x = generateRandomStr(size);
String y = generateRandomStr(size);
int m = x.length();
int n = y.length();
//创建二维数组，也就是填表的过程
int[][] c = new int[m+1][n+1];
//初始化二维数组
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
c[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i < n+1; i++) {
c[0][i] = 0;
}
//实现公式逻辑
int[][] path = new int[m+1][n+1];//记录通过哪个子问题解决的，也就是递推的路径
for (int i = 1; i < m+1; i++) {
for (int j = 1; j < n+1; j++) {
if(x.charAt(i-1) == y.charAt(j-1)){
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
}else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
c[i][j] = c[i-1][j];
path[i][j] = 1;
}else{
c[i][j] = c[i][j-1];
path[i][j] = -1;
}
}
}
//输出查看c
System.out.println("c:");
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
for (int j = 0; j < n+1; j++) {
System.out.print(c[i][j]+"\t");
}
System.out.println();
}
//输出查看path
System.out.println("path:");
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
for (int j = 0; j < n+1; j++) {
System.out.print(path[i][j]+"\t");
}
System.out.println();
}
System.out.printf("%s与%s的最长公共子序列为：\n",x,y);
PrintLCS(path,x,m,n);
}
public static String generateRandomStr(int length) {
String base = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";
Random random = new Random();
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < length; i++) {
int number = random.nextInt(base.length());
sb.append(base.charAt(number));
}
return sb.toString();
}
public static void PrintLCS(int[][]b,String x,int i,int j){
if(i == 0 || j == 0){
return;
}
if(b[i][j] == 0){
PrintLCS(b,x,i-1,j-1);
System.out.printf("%c",x.charAt(i-1));
}else if(b[i][j] == 1){
PrintLCS(b,x,i-1,j);
}else{
PrintLCS(b,x,i,j-1);
}
}
}
程序运行截图：
总结
程序一般分为两部分。 首先是二维数组c的构造，本质上就是问题划分的过程。 由此可见，动态规划的方法是将所有可能的子问题一一列出，并选择 计算最终的最优解是有用的，避免重复计算。最优解最终出现在数组的结尾
第二部分是如何输出最优解。 这是新建一个path[][]数组，记录使用了哪个子问题，并在遍历过程中输出。 背包问题与最长公共子序列问题有很多相似之处，需要总结和反思。
上一篇 
